Трехгранные углы. Презентация "многогранный угол" Вертикальные многогранные углы
1 слайд
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов. Теорема. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
2 слайд
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ Многогранник угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклой и невыпуклой пирамиды. Куб, параллелепипед, треугольные призма и пирамида являются выпуклыми многогранниками.
3 слайд
СВОЙСТВО 1 Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками. Действительно, пусть F - какая-нибудь грань многогранника M, и точки A, B принадлежат грани F. Из условия выпуклости многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике, т. е. F - выпуклый многоугольник.
4 слайд
СВОЙСТВО 2 Действительно, пусть M - выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь внутреннюю точку S многогранника M, т. е. такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками. Заметим, что в силу выпуклости многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M. Свойство 2. Всякий выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.
5 слайд
Упражнение 1 На рисунке укажите выпуклые и невыпуклые плоские фигуры. Ответ: а), г) – выпуклые; б), в) – невыпуклые.
6 слайд
Упражнение 2 Всегда ли пересечение выпуклых фигур является выпуклой фигурой? Ответ: Да.
7 слайд
Упражнение 3 Всегда ли объединение выпуклых фигур является выпуклой фигурой? Ответ: Нет.
8 слайд
Упражнение 4 Можно ли составить выпуклый четырёхгранный угол с такими плоскими углами: а) 56о, 98о, 139о и 72о; б) 32о, 49о, 78о и 162о; в) 85о, 112о, 34о и 129о; г) 43о, 84о, 125о и 101о. Ответ: а) Нет; б) да; в) нет; г) да.
9 слайд
Упражнение 5 На рисунке укажите выпуклые и невыпуклые многогранники. Ответ: б), д) – выпуклые; а), в), г) – невыпуклые.
10 слайд
Упражнение 6 Может ли невыпуклый многоугольник быть гранью выпуклого многогранника? Ответ: Нет.
Cлайд 1
Cлайд 2
Теорема. В трехгранном угле сумма плоских углов меньше 360 и сумма любых двух из них больше третьего. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Основное свойство трехгранного угла. Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Cлайд 3
Доказательство I. Пусть < 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
Cлайд 4
Формула трех косинусов. Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула: 2) Угол между прямой и плоскостью – наименьший из углов, которая эта прямая, образует с прямыми этой плоскости.
Cлайд 5
II. На ребрах данного угла отложим точки A’, B’ и C’ так, что |OA’| = |OB’| = |OC’| Тогда треугольники A’OB’, B’OC’ и С’OA’ – равнобедренные, а их углы при основаниях 1 – 6 – острые. Для трехгранных углов с вершинами A’, B’ и C’ применим неравенства, доказанные в пункте I: С’А’B’ < 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Cлайд 6
III. Рассмотрим луч c’ – дополнительный лучу с и для трехгранного угла Оabc’ используем неравенство, доказанное в пункте II для произвольного трехгранного угла: (180 –) + (180 –) + < 360 + > . Аналогично доказываются и два остальных неравенства. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > . с’
Cлайд 7
Следствие. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине меньше 120 .
Cлайд 8
Определение. Трехгранные углы называются равными если равны все их соответствующие плоские и двугранные углы. Признаки равенства трехгранных углов. Трехгранные углы равны, если у них соответственно равны: два плоских угла и двугранный угол между ними; 2) два двугранных угла и плоский угол между ними; 3) три плоских угла; 4) три двугранных угла. Рис. 4б
Cлайд 9
. . Дан трехгранный угол Оabc. Пусть < 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
Cлайд 10
II. Пусть > 90 ; > 90 , тогда рассмотрим луч с’, дополнительный к с, и соответствующий трехгранный угол Оаbс’, в котором плоские углы – и – – острые, а плоский угол и двугранный угол – те же самые. По I.: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Двугранные углы Работу выполнила: учитель математики Серебрянская Л. А.
Двугранный угол – это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.
Полуплоскости α и β , образующие двугранный угол, называются его гранями
Выберем на ребре A D двугранного угла произвольную точку C и проведем через нее плоскость α перпендикулярно ребру AP Плоскость α пересекает грани двугранного угла по лучам a и b , которые образуют некоторый угол величиной φ . Этот угол называется линейным углом двугранного угла
При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Величина меньшего из этих двугранных углов называется углом между этими плоскостями.
Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению. Если φ – величина угла между двумя плоскостями, то 0°
Задача В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D . А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1
Задача Дано: куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Найти: угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D Решение: А В С D А 1 В 1 С 1 D 1 О ∆ BDA 1 и ∆ DC 1 B – равные равнобедренные АО и С 1 О перпендикулярны DB =» А 1 О С 1 искомый С 1 О- диагональ квадрата со стороной равной 1.
http:// old.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/chapter3/section/paragraph6/theory.html http://e-science.ru/math/theory/? t=320
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Одной из основных тем в стереометрии является тема “Двугранные углы”. Несмотря на то, что понятия двугранного угла и его линейного угла учащиеся усваивают легко, возникает много затруднений при решени...
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a , не принадлежащими одной плоскости.
Прямая a – ребро двугранного угла
a
В обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Такими предметами являются двускатные крыши зданий, полураскрытая книга, стена комнаты совместно с полом и т.д.
Две полуплоскости – грани двугранного угла
Алгоритм построения линейного угла.
Угол РОК – линейный угол двугранного угла Р DE К.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
Трехгранные и многогранные углы
Ввести определение трехгранного и многогранного углов;
Познакомиться с различными видами многогранных углов;
Изучить свойства многогранных углов и научиться их применять при решении задач.
МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
П оверхность, образованн ую конечным набором плоских углов A 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n , A n SA 1 с общей вершиной S , в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а не соседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины, будем называть многогранной поверхностью.
Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA 1 , …, SA n называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n , A n SA 1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA 1 … A n , указывающими вершину и точки на его ребрах.
МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д.
ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ
Теорема. Всякий плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
ТРЕХГРАННЫЕ УГЛЫ
С войство. Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360 .
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке приведены примеры выпуклого и невыпуклого многогранных углов.
Свойство. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
Вертикальные многогранные углы
На рисунках приведены примеры трехгранных, четырехгранных и пятигранных вертикальных углов
Теорема. Вертикальные углы равны.
Измерение многогранных углов
Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180 о, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360 о. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360 о:8 = 45 о. Трехгранный угол в правильной n -угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен, получаем, что трехгранный угол призмы равен.
Упражнение 1
Может ли быть трехгранный угол с плоскими углами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Ответ: а) Нет;
Упражнение 2
Приведите примеры многогранников, у которых грани, пересекаясь в вершинах, образуют только: а) трехгранные углы; б) четырехгранные углы; в) пятигранные углы.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Ответ: а) Тетраэдр, куб, додекаэдр;
б) октаэдр;
в) икосаэдр.
Упражнение 3
Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. В каких границах находится третий плоский угол?
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Ответ: 10 о
1. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами А и С2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора
3. Найдите угол CAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим треугольник CAD2 где AC = CD2 = AD2, т. к. являются диагоналями равных квадратов.Следовательно, треугольник CAD2 - равносторонний, поэтому все его углы равны 60°.
4. Найдите угол ABD многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Заметим, что ABCD - квадрат со стороной 2, а BD - его диагональ.Значит, треугольник ABD - прямоугольный и равнобедренный, AB=AD. Угол ABD равен 45°.
5. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами В2 и Д3 .
6. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами А и С3 .
7. Найдите угол EAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
Упражнение 5
В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Ответ: 6 0 о.
Упражнение 6
Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. На его ребрах от вершины отложены равные отрезки OA , OB , OC . Найдите двугранный угол между плоскостью угла в 90° и плоскостью ABC .
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Ответ: 9 0 о.
Упражнение 7
Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°. На одном из его ребер отложен от вершины отрезок, равный 3 см, и из его конца опущен перпендикуляр на противоположную грань. Найдите длину этого перпендикуляра.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Ответ: см.
Упражнение 8
Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его граней.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, делящих двугранные углы пополам.
Упражнение 9
Найдите геометрическое место внутренних точек трехгранного угла, равноудаленных от его ребер.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Ответ: Луч, вершиной которого является вершина трехгранного угла, лежащий на линии пересечения плоскостей, проходящих через биссектрисы плоских углов и перпендикулярных плоскостям этих углов.
Упражнение 10
Найдите приближенные значения трехгранных углов тетраэдра.
Для двугранных углов тетраэдра имеем:
Откуда 70 о 30".
Для трехгранных углов тетраэдра имеем:
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Ответ: 15 о 45" .
Упражнение 11
Найдите приближенные значения четырехгранных углов октаэдра.
Для двугранных углов октаэдра имеем:
Откуда 109 о 30".
Для четырехгранных углов октаэдра имеем:
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Ответ: 38 о 56 " .
Упражнение 12
Найдите приближенные значения пятигранных углов икосаэдра.
Для двугранных углов икосаэдра имеем:
Откуда 138 о 11 ".
Для пятигранных углов икосаэдра имеем:
Ответ: 75 о 28 " .
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Упражнение 13
Найдите приближенные значения трехгранных углов додекаэдра.
Для двугранных углов додекаэдра имеем:
Откуда 116 о 3 4 ".
Для трехгранных углов додекаэдра имеем:
Ответ: 84 о 51 " .
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Упражнение 14
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдите четырех гранный угол при вершине этой пирамиды.
Решение: Указанные пирамиды разбивают куб на шесть равных пирамид с вершинами в центре куба. Следовательно, 4-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну шестую часть угла в 360 о, т.е. равен 60 о.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Ответ: 60 о.
Упражнение 15
В правильной тре угольной пирамиде боковые ребра равны 1, углы при вершине 90 о. Найдите трех гранный угол при вершине этой пирамиды.
Решение: Указанные пирамиды разбивают октаэдр на восемь равных пирамид с вершинами в центре O октаэдра. Следовательно, 3-х гранный угол при вершине пирамиды составляет одну восьмую часть угла в 360 о, т.е. равен 45 о.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
Ответ: 45 о.
Упражнение 16
В правильной тре угольной пирамиде боковые ребра равны 1, а высота Найдите трех гранный угол при вершине этой пирамиды.
Решение: Указанные пирамиды разбивают правильный тетраэдр на четыре равные пирамиды с вершинами в центре O тетраэдра. Следовательно, 3-гранный угол при вершине пирамиды составляет одну четвертую часть угла в 360 о, т.е. равен 90 о.
В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.
